مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی
سال سی و سوم شماره 1 (پیاپی 54، تابستان 1393)

پس از پرواز قمر مصنوعی شوروی سابق، دوره جدیدی با عنوان «جنبش ریاضی جدید» در آمورش ریاضی شروع شد. در این دوران، پروژه های مختلفی برای تولید و توسعه برنامه درسی ریاضی مدرسه ای در امریکا مطرح شدند که در آن، مفاهیم مجرد ریاضی بدون زمینه سازی برای درک معنادار آن ها، به دانش آموزان معرفی شدند. پس از دو دهه، اعتراض های فراوانی به این جنبش شد که نتیجه آن، شکل گیری «نهضت رجوع به اصول» در ایالات متحده و برخی کشورهای دیگر بود. اما در کشور هلند اتفاق دیگری افتاد و به عنوان واکنشی به دوران ریاضی جدید، «پروژه ویسکوباس» به اجرا درآمد که خروجی آن، تولید نظریه آموزش ریاضی واقعیت مدار بود، پروژه ای که هنوز هم در حال توسعه است و همچنان به حیات خود ادامه می دهد. مقاله حاضر، به طور خلاصه به بررسی روند تغییرات برنامه درسی ریاضی در دنیا پرداخته است، تا به وسیله نور حاصل از آن، بتوان ریشه های تغییرات برنامه درسی ریاضی مدرسه ای در ایران را بهتر مطالعه کرد.

از ابتدای دهه 1990، ریاضیات و به طور خاص تر نظریه احتمالات، نقش فزاینده ای در صنعت بانکداری و بیمه ایفا کرده اند. این موضوع نویسندگان را بر آن داشت که در این جا بعضی از تعامل های بین ریاضیات و مالی و نتایج آن ها را در سطح تحقیقات و اموزش این حوزه ها در فرانسه ارائه دهند.

در این مقاله، شرح نسبتا مفصلی از حدس مشهور به حدس L^P را بازگو خواهیم کرد. این حدس مشهور در سال 1961 مطرح شد و تنها در سال 1990 پس از سعی و تلاش بسیاری از ریاضیدانان جواب نهایی یافت. همچنین، نتایجی را درباره عمل پیچش روی فضاهای لبگ وابسته به گروه موضعا فشرده، که به خودی خود اهمیت دارند، و نامساوی معروف یانگ، که پیوند مستقیمی با حدس مذکور دارد، عرضه خواهیم کرد. در پایان نیز به برخی مسائل حل نشده اشاره می کنیم.

هدف این مقاله بررسی مجموعه چندجمله ای های چبیشف از درجه n روی کره ی ریمان است. این چندجمله ای ها که با استفاده از یک رابطه بازگشتی تعریف می شوند، به ازای n>=2 دارای مجموعه ژولیای هموار هستند. در واقع ثلبت می شود که مجموعه ژولیای این نگاشت ها بازه ی بسته [2، -2] است. سپس با ساتفاده از خواص این چندجمله ای ها و رابطه بازگشتی مشابه، دسته دیگری از چندجمله ای ها که آن ها را چندجمله ای های شبه چبیشف خواهیم نامید، معرفی می شوند. نشان می دهیم مجموعه ژولیای این خانواده جدید نیز به ازای هر n>=2 هموار است. همچنین نشان می دهیم چندجمله ای شبه چبیشف در حالت n زوج با چندجمله ای های چبیشف و در حالت n فرد با منهای آن مزدوج هستند.

یکی از ابزارهای مناسب در سیستم های دینامیکی، نگاشت پوانکاره است که عمدتا به دو دلیل مورد توجه است، یکی کاهش مرتبه سیستم پیوسته زمان و مطالعه آن سیستم در حوزه گسسته زمان و دیگری برقرار کردن ارتباط بین مجموعه های حدی سیستم اولیه با سیستم گسسته زمان کاهش یافته. در این مقاله با تعریف نگاشت پوانکاره برای انواع سیستم های خودگردان و ناخودگردان، به بحث هایی راجع به مجموعه های حدی نگاشت شده می پردازیم. در ادامه مثال هایی از کاربردهای این نگاشت توانمند ارائه می شود.