سیدموسی صدر 14 خرداد 1307 در قم و در خانواده ای روحانی به دنیا آمد. پدر او سیدصدرالدین صدر، از مدرسان و مراجع برجسته بود که بعد از فوت شیخ عبدالکریم حائری، موسس حوزه علمیه قم، به همراه دو نفر دیگر اداره این حوزه را برعهده گرفت. می گویند سیدموسی، مدارا و صبر را از پدر به ارث برده است. مادر او هم صفیه طباطبایی قمی، فرزند حاج آقا سیدحسین طباطبایی قمی و برادرش سیدحسن طباطبایی قمی بود.

سیدموسی، خواندن دروس حوزوی را در دوران نوجوانی نزد پدر و برادر بزرگ ترش، سیدرضا و بعد نزد علمایی مانند آیت الله محقق داماد و سلطانی طباطبایی آغاز کرد. او در کنار دروس مرسوم حوزه، شروع به خواندن فلسفه کرد و در جلسات خصوصی علامه طباطبایی نیز شرکت کرد. سیدموسی پس از گذراندن سیکل اول، در سال 1322 هم زمان با دوره دبیرستان، برای تحصیل علوم اسلامی وارد حوزه علمیه قم شد.