رویکردی جدید برای شمارش یا بهینه سازی مثلث بندی مجموعه نقاط در صفحه مبتنی بر MIS

مثلث بندی مجموعه نقاط S در صفحه، برابر با تعبیه مسطح یک گراف مسطح مستقیم الخط بیشین (با بیشترین یال) روی مجموعه نقاط است به طوری که مجموعه ریوس گراف دقیقا همان مجموعه نقاط داده شده باشد. دو مسئله مهم در این زمینه مورد تحقیق است. الف) به چند طریق می توان مجموعه نقاط S را مثلث بندی کرد ب) کدام مثلث بندی بر اساس ویژگی خاصی بهینه است. مسئله اول یک مسئله باز است و به جز در شرایط خاص که دارای رابطه بسته می باشد تا به حال الگوریتمی با زمان چندجمله ای برای آن در حالت کلی ارایه نشده است. مسئله دوم نیز در حالتی که هدف پیداکردن مثلث بندی که مجموع طول یال های آن کمترین باشد یک مسئله NP-HARD است (MWT)، لذا تحقیقات در راستای ارایه الگوریتم های مکاشفه ای، فرامکاشفه ای یا تقریبی برای این دو حالت انجام شده است.در این مقاله روشی ارایه شده که در آن با تولید گراف تقاطع حاصل از تمامی پاره خط های حاصل از تمامی زوج نقاط S تولید می شود و سپس الگوریتم هایی برای تولید همه مجموعه های مستقل بیشین (MIS) گراف تقاطع و همچنین روشی برای شمارش تعداد این مجموعه ها ارایه می شود. این رویکرد تولید گراف تقاطع و تبدیل مسئله مثلث بندی به مسئله مجموعه مستقل بیشین نگاهی جدید به مسئله مثلث بندی در هر دو حالت الف و ب محسوب می شود و از آنجا که ارایه الگوریتم برای مسئله الف یا ب به خاطر ذات هندسی بودن آن دشوار است لذا با رویکرد مطرح شده در این مقاله، تمامی الگوریتم هایی که تا به حال برای مسئله MIS مطرح شده است را می توان برای حل مسئله مثلث بندی در هر دو حالت الف یا ب به کار برد. تکنیک تبدیل مسئله مثلث بندی به مسئله MIS رویکردی است که تا به حال روشی مبتنی بر آن برای حل مسایل شمارش تعداد طرق مثلث بندی یا مثلث بندی با کمترین وزن گزارش نشده است. علاوه بر این یک روش تخمینی مکاشفه ای برای تعیین متوسط تعداد حالات مثلث بندی ارایه خواهد شد که نتایج پیاده سازی نشان می دهد روی نمونه هایی از ورودی نزدیک به مقدار دقیق هستند.