بسط مجانبی یک دنباله مرتبط با عدد نپر و کاربرد آن در شمارش تحلیلی تعداد مسیرها در گراف کامل

در این مقاله تعداد مسیرهای بین دو راس دلخواه و ثابت در گراف کامل $K_{n+2}$ را بررسی می کنیم. نخست نشان می دهیم تعداد این مسیرها برابر است با $w_{n+2}=e_n n!$ که در آن $e_n=sum_{j=0}^n 1/j!$مجموع جزیی سری معرف عدد $e$ است. سپس با بدست آوردن یک نمایش انتگرالی برای $e_n$، شبیه انتگرال تابع گاما، بسط مجانبی زیر را برای $w_{n+2}$ به دست می آوریم[w_{n+2}=en!-sum_{k=1}^rfrac{c_k}{n^k}+Oleft(frac{1}{n^{r+1}}right),]که در آن $rgeqslant 1$ عددی صحیح و دلخواه است و ضرایب $c_k$ قابل محاسبه و مشخص هستند. ضمنا نشان می دهیم که ضریب نماد $O$ در این بسط حداکثر برابر $e^2B_{r+1}$ است، که در آن $B_{r+1}$ عدد بل از مرتبه $r+1$ است.