SHALLOW-WATER NUMERICAL MODEL FOR SIMULATION OF LONG WAVE RUN-UP
T h e p r o p a g a t i o n a n d r u n-u p o f l o n g w a v e s a r e i n t e r e s t i n g h y d r o d y n a m i c p h e n o m e n a t h a t h a v e r e c e i v e d e x t e n s i v e a t t e n t i o n f r o m c o a s t a l e n g i n e e r i n g c o m m u n i t i e s o v e r t h e p a s t f e w d e c a d e s. A m o n g v a r i o u s t y p e s o f l o n g w a v e, s o l i t a r y w a v e s a r e o f c r u c i a l i m p o r t a n c e, d u e t o t h e i r c a p a b i l i t y o f b e i n g r e a s o n a b l y r e p r e s e n t a t i v e o f g i a n t w a v e s, l i k e t s u n a m i s. T h i s h i g h l i g h t s t h e i m p o r t a n c e o f i n v e s t i g a t i n g t h e n e a r s h o r e b e h a v i o r o f s o l i t a r y w a v e s, a s w e l l a s t h e i r r u n-u p f e a t u r e s.I n t h i s s t u d y, n o n-l i n e a r s h a l l o w w a t e r (N L S W) e q u a t i o n s a r e c o n s i d e r e d a s t h e m a t h e m a t i c a l t o o l g o v e r n i n g t h e p r o p a g a t i o n a n d r u n-u p o f l o n g w a v e s. T h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s t o t h i s s y s t e m o f h y p e r b o l i c c o n s e r v a t i o n l a w s a r e l i m i t e d t o n o n-b r e a k i n g w a v e s. T h i s s h o r t c o m i n g i s m a i n l y a t t r i b u t e d t o l a r g e g r a d i e n t s o f f l o w ``s h o c k s'' i n t h e v i c i n i t y o f t h e b r e a k i n g w a v e f r o n t, w h i c h c a n c o l l a p s e a n a l y t i c a l a t t e m p t s. H e n c e, n u m e r i c a l m o d e l i n g i s i n e v i t a b l e f o r b r e a k i n g w a v e s.T o d e v e l o p a n e f f i c i e n t n u m e r i c a l m o d e l, t h e c o n s e r v a t i v e f o r m o f N L S W w a s f i r s t d i s c r e t i z e d i n s p a c e b y t h e F O R C E-M U S C L s c h e m e a n d, t h e n, i n t e g r a t e d i n t i m e b y t h e o p t i m a l t h i r d-o r d e r T V D R u n g e-K u t t a m e t h o d. T h e m e n t i o n e d s h o c k s w e r e e f f i c i e n t l y c a p t u r e d u s i n g t h e n o n-l i n e a r s l o p e l i m i t e r ``S U P E R B E E'', w h i c h, n o t o n l y c o n t r o l s t h e s e l a r g e g r a d i e n t s, b u t, a l s o, p r e s e r v e s t h e s m o o t h r e g i o n s o f t h e f l o w f i e l d i n a t r u l y p h y s i c a l m a n n e r.I n t h i s s h o c k-c a p t u r i n g f i n i t e v o l u m e m o d e l, t h e s t e a d y s t a t e p r e s e r v i n g p r o p e r t y (C-p r o p e r t y) w a s a c h i e v e d w i t h t h e a i d o f a s u r f a c e g r a d i e n t m e t h o d. T h i s p r o p e r t y b e c o m e s i m p o r t a n t w h e n m o d e l i n g w a v e p r o p a g a t i o n o v e r u n e v e n b a t h y m e t r i e s, a n d a v o i d s t h e f r e e s u r f a c e b e i n g s p u r i o u s l y d i s t u r b e d i n s u c h s i t u a t i o n s. A m i n i m u m w a t e r d e p t h w a s a l s o i n t r o d u c e d t o o v e r c o m e t h e c h a l l e n g e s o f w a v e p r o p a g a t i o n o v e r a n i n i t i a l l y d r y b e a c h, a n d t o i d e n t i f y t h e m o v i n g s h o r e l i n e b o u n d a r y d u r i n g t h e r u n-u p p r o c e s s.N o n-b r e a k i n g a n d b r e a k i n g s o l i t a r y w a v e s p r o p a g a t i n g i n a r e g i o n o f c o n s t a n t d e p t h a n d c l i m b i n g u p a p l a n e s l o p i n g b e a c h w e r e c o n s i d e r e d a s b e n c h m a r k s t o a s s e s s t h e p e r f o r m a n c e o f t h e p r e s e n t n u m e r i c a l m o d e l. T h e e x p e r i m e n t a l d a t a a n d a n a l y t i c a l s o l u t i o n f o r t h i s r u n-u p p r o b l e m h a v e b e e n r e p o r t e d i n t h e l i t e r a t u r e.F o r n o n-b r e a k i n g w a v e s, t h e o b s e r v e d a g r e e m e n t b e t w e e n t h e c o m p u t e d r e s u l t s, e x p e r i m e n t a l d a t a a n d a n a l y t i c a l s o l u t i o n, w a s a c c e p t a b l e. I n t e r e s t i n g l y, t h e n u m e r i c a l r e s u l t s a p p e a r t o b e c l o s e r t o e x p e r i m e n t s t h a n t h e a n a l y t i c a l c o u n t e r p a r t. T h i s t r e n d c a n b e r e l a t e d t o n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n o f t h e s c h e m e, w h i c h r e s e m b l e s t h e r e a l f l u i d e f f e c t s a r i s i n g i n e x p e r i m e n t a l d a t a.I n t h e c a s e o f b r e a k i n g w a v e s, t h o u g h t h e o v e r a l l a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t a l d a t a w a s s a t i s f a c t o r y, t h e p o s i t i o n o f w a v e b r e a k i n g w a s n o t w e l l p r e d i c t e d b y t h e m o d e l. T h i s i n a c c u r a c y i s m a i n l y d u e t o l a c k o f d i s p e r s i v e e f f e c t s i n t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s. N e v e r t h e l e s s, t h e m o d e l p r o v i d e s a m o r e a c c u r a t e w a v e p r o f i l e a t t h e i n s t a n c e o f b o r e c o l l a p s e. T h i s s u p e r i o r r e s u l t s h o u l d b e a s c r i b e d t o t h e c o n s e r v a t i o n p r o p e r t y o f t h e s c h e m e, w h i c h a v o i d s t h e m a s s b e i n g l o s t a f t e r w a v e b r e a k i n g. T h i s p r o p e r t y w a s a l s o c o n f i r m e d b y a n e g l i g i b l e m a s s l o s s e r r o r.
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