مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی
سال چهلم شماره 2 (پیاپی 69، پاییز و زمستان 1400)

مسیله‎‏ استنتاج درخت تبارزایشی،  مسیله ای قدیمی در زیست شناسی است که در آن به دنبال درختی هستیم که شباهت موجودات را نشان دهد. الگوریتم های موجود برای بازسازی درخت تبارشناسی عموما الگوریتم هایی اکتشافی هستند. این الگوریتم ها مبتنی بر فهم و شهود ابداع کننده آن ها هستند و در مورد نحوه و میزان بهینه بودن آن ها هیچ تضمینی وجود ندارد. در مقابل، الگوریتم های تقریبی اگرچه جواب بهینه را پیدا نمی کنند (چون احتمالا این کار امکان پذیر نیست)، اما در مورد میزان فاصله جواب آن ها با جواب بهینه می توان محدوده ای مشخص کرد. در این مقاله، الگوریتمی تقریبی برای مسیله بازسازی درخت تبارشناسی تومور را بررسی می کنیم. این الگوریتم با تغییراتی در الگوریتمی برای مسیله درخت اشتاینر به دست می آید که پیش از این در ‎Alon‎, ‎N.‎, ‎Chor‎, ‎B.‎, ‎Pardi‎, ‎F.‎, ‎Rapoport‎, ‎A.‎, ‎‎IEEE/ACM Transactions on Computational Biology and‎ ‎Bioinformatics, ‎7 (2008)‎, ‎183-187‎مطرح شده است. همچنین، یکی از کاربردهای علوم نظری کامپیوتر را در طراحی الگوریتم برای مسیله های بیوانفورماتیک بررسی خواهیم کرد.

بسیاری از فضاهای مهم در مسایل مربوط به علوم داده یا مهندسی‏، فضا های غیرخطی اند. ازاین رو‏، در سال های اخیر روش های عددی برای بهینه سازی تابع های تعریف شده روی خمینه های ریمانی، مورد توجه و پژوهش بسیاری قرار گرفته است. ازطرف دیگر، هندسه دانانی چون آلیکساندرف و گرومف، با ابداع فضاهای ژیودزیک، دریچه تازه ای به مطالعه اشیاء هندسی گشودند. این فضاها تعمیم خمینه های ریمانی اند و‏، علاوه بر مزیت های دیگر، فاقد پیچیدگی های تانسوری این خمینه ها هستند. این فضاها بسیاری از اشیاء ناهموار ریاضی، ازجمله گراف ها یا خمینه های توپولوژیک را هم شامل می شوند. در این مقاله‏، روش نیوتن برای یافتن نقطه مینیمم یک تابع خودسازگار روی فضاهای متری ژیودزیک ارایه می شود. از مزیت های مهم این نوع بررسی در قیاس با روش نیوتن روی خمینه های ریمانی‏، سادگی بسیار نظریه و کاهش حجم محاسبات است. علی رغم نبود ساختار هموار و جبر تانسوری روی خمینه ها‏، صرفا با استفاده از مفهوم ‎«‎خم ژیودزی‎»‎ نشان می دهیم که می توان روش نیوتن را به شکلی موفق و حتی ساده تر روی رده وسیعی از ساختارهای معمول ریاضی طراحی و اجرا کرد.

سازوکارهای جورسازی، در رفتار اقتصادی جامعه انسانی کاربردی اساسی دارند. مفهوم جورسازی را می توان در ازدواج و زوج یابی، پیوند کلیه، تخصیص نیروی کار به بخش های مختلف کار، و غیره مشاهده کرد. موضوع اصلی مسیله جورسازی، طراحی سازوکاری است که دو طرف هم جورسازی را به هم برساند درحالی که بیشترین مطلوبیت رخ دهد و دو طرف در آشکار کردن ترجیحات خود دلیلی برای خلاف گویی نداشته باشند. هدف از این مقاله، آشنا کردن خواننده با مبحث طراحی سازوکارها و، به طور خاص، سازوکار های هم جورسازی است.

رتبه یکی از مشخصه های مهم  هر ماتریس است. رتبه ماتریس A عبارت است از کوچک ترین عدد صحیح r به طوری که A را بتوان با استفاده از مجموع r ماتریس رتبه یک نوشت. رتبه ماتریس را می توان با استفاده از روش حذف گاوسی یا تجزیه پلکانی به دست آورد. رتبه تانسور ‎A  عبارت است از کوچک ترین عدد صحیح ‎ r به طوری که ‎ A  به وسیله مجموع  ‎  r  تانسور رتبه یک ایجاد شود. برخلاف رتبه ماتریس،  رتبه تانسور  به راحتی قابل محاسبه نیست، چنان که به جز در مواردی خاص، مسیله ای NP- سخت است.  تاکنون مطالعات گسترده ای در زمینه محاسبه رتبه تانسورهای 2×2× 2 انجام گرفته است و چندین روش شامل محاسبه ابردترمینان، بررسی ساختار درونی تانسور و نیز طبقه بندی تانسور به صورت های کانونی  ارایه شده اند. یک مسیله اساسی در کار با ماتریس و تانسورها،  محاسبه بهترین تقریب رتبه پایین است. طبق قضیه اکارت-یانگ، بهترین تقریب رتبه k در ماتریس ها با مجموع k عامل از تجزیه مقدار تکین قابل محاسبه است. به علاوه، برای یک ماتریس، محاسبه بهترین تقریب رتبه  k+1 با استفاده از بهترین تقریب رتبه k، امکان پذیراست. اما برخلاف ماتریس ها،  ممکن است بسیاری از تانسورها   تقریب رتبه پایین مشخص شده ای نداشته باشند.   این مسیله ای  تبهگن  است   و این تانسورها  را  می توان  با دنباله ای از تانسورهای رتبه پایین، به قدر کافی نزدیک، تقریب زد.

برای پاسخ دادن به این سوال که بین دایره و مربع، کدام یک متقارن تر است، گروه تقارن ها  آن ها را بررسی می کنیم و فضایی را  که گروه تقارن بزرگ تری داشته باشد،   متقارن تر  محسوب می کنیم. در ادامه،  گروه تقارن های مکعب و کره   دوبعدی را  نیز مقایسه می کنیم. در پایان،  سوالی در مورد ساختار همسان ریختی های حافظ مساحت کره   دوبعدی خواهیم پرسید وسوال های  مشابهی را برای حالت سه بعدی  بررسی خواهیم کرد.

یکی از مهم ترین و ساده ترین مثال های فضاهای ناجابه جایی در هندسه ناجابه جایی، چنبره ناجابه جایی دو بعدی است که بسیار عمیق و در سطحی گسترده مطالعه شده است. قصد ما در این مقاله آشنا کردن خواننده با بعضی ویژگی های مقدماتی این فضا است.

نویسنده در این مقاله، اثبات های جدیدی برای چند قضیه و مسیله کلاسیک می آورد. ‎

در این مقاله، نویسنده صورتی یکپارچه از قضیه معروف فیثاغورس برای سه هندسه اقلیدسی، کروی، و هذلولوی ارایه می کند.

در این مقاله، شرایط لازم و کافی را برای اینکه صفر های یک چندجمله ای تک متغیر‎‏ی با ضرایب حقیقی، متمایز و حقیقی باشند بیان می کنیم.

در این مقاله یک صورت نسبتا ناشناخته از فرمول تعویض متغیر برای توابع غیرخودگردان ارایه می کنیم. نشان می دهیم که این فرمول، روی ناحیه هایی از صفحه که به نمودار دو تابع پیوسته مشتق پذیر محدود است، معادل با قضیه گرین است. به علاوه، این فرمول کاربردهای جالبی در موضوع یکتایی جواب معادله های دیفرانسیل معمولی دارد.

از بازی های ریاضی در کلاس های مقطع ابتدایی زیاد استفاده می شود؛ اما همه بازی ها دارای ارزش یکسانی نیستند. معلمان بر چه مبنایی باید درخصوص توصیه یا عدم توصیه بازی های مخصوص هر گروه سنی نظر بدهند؟ در اینجا به منظور کمک به معلمان در مواجه با این مسیله، پنج اصل برای بازی های ریاضی که از لحاظ آموزشی پربارند ارایه می شود.

ادامه ترجمه کتاب  دوست دارم ریاضیدان باشم (فصل دهم، صفحات  167-182)