ضرایب لیاپونوف و کاربرد آن ها در فیزیک

نظریۀ صورت بهنجار یکی ازمهم ترین ابزارها برای تجزیه وتحلیل موضعی دستگا ه های دینامیکی در نزدیکی نقاط تعادل و جواب های تناوبی است. ایدۀ اصلی در این نظریه استفاده از قسمت خطی دستگاه است که با اعمال تغییر متغیرهای حالت به ساده کردن دستگاه اولیه کمک می کند. دستگاه معادلات دیفرانسیل همگن با فضای حالت دوبعدی را در نظر بگیرید که قسمت خطی آن یک جفت مقدار ویژه موهومی دارد (تکینی هوپف). تا کنون تنها ضرایب لیاپونوف تا مرتبه 2، برای این دستگاه های تکین محاسبه شده است. در این مقاله با به کارگیری ابزار جبر لی، ضرایب صورت بهنجار (ضرایب لیاپونوف) را برای این دستگاه، تا مرتبه 3 بر حسب مشتقات قسمت غیرخطی محاسبه می کنیم. هم چنین به کمک ابزار های نظریه انفراد، شکافت سراسری را برای این گونه دستگاه ها در حالت کلی محاسبه می کنیم. و متناظرا ثابت می کنیم که بررسی نقاط تعادل و مدارهای تناوبی حدی یک دستگاه تکین هوپف تعمیم یافته (کانونی ضعیف از مرتبۀ k) با بسط تیلور صورت بهنجار تا درجه به صورت کامل مشخص می شود و انشعابات متناظر برای دستگاه تکین هوپف و هوپف تعمیم یافته با مرتبۀ کانونی 2 را تحلیل می کنیم. در پایان معادلات دستگاه لینار و یک مدار الکتریکی غیرخطی را به کمک روابط ریاضی، مدل سازی و صورت بهنجار را برای آن ها محاسبه می کنیم.