برخی از ساختارهای اعداد کاتالان~ \lr{I}I

یکی از مهم ترین دلایل شهرت اعداد کاتالان، ظاهر شدن آن ها در بسیاری از مسایل شمارشی می باشد. با مطالعه منابعی که از اعداد کاتالان وجود دارد، مانند کتاب ها و صفحه ویکی پدیا، متوجه می شویم در ترکیبیات؛ دنباله این اعداد در بسیاری از مسایل شمارشی مانند مثلث بندی کردن یک چند ضلعی، پرانتزگذاری بین $n$ متغییر، شمارش قله ها، مسیرهای مشبکه، دنباله های پرهیز و درخت های دودویی، به صورت بازگشتی ظاهر می گردد. این اعداد برای نخستین بار توسط ریاضیدان بلغاری اوجن چارلز کاتالان کشف شد و بعدها به این نام مشهور گردید. البته، تاریخ ریاضیات نشان می دهد که این اعداد خیلی قبل تر از کاتالان مورد بررسی قرار گرفته اند. این اعداد به شکل ها و صورت های متفاوتی ظاهر می گردند، اما کاربرد زیاد این اعداد در شاخه های مختلف ریاضی باعث شده حتی تصور اینکه اعداد کاتالان روزگاری ناشناخته و تعریف نشده بوده است، سخت باشد. در این مقاله، ابتدا ضریب دوجمله ای مرکزی را معرفی می کنیم و سپس به مطالعه بعضی از ساختار های مشهور اعداد کاتالان مانند مسیرهای دیک، درخت های دودویی، جایگشت ها و افراز ها، می پردازیم. ما همچنین بعضی از ساختار های جبری و دیگر اعداد کاتالان را نیز بررسی می کنیم.