محاسبه ی چندجمله ای های لاگرانژ به روش بازگشتی با استفاده از نقاط گرهی چبیشف

در مباحث مربوط به تیوری تقریب، برای تقریب زدن یک تابع پیچیده با استفاده از یک چندجمله ای، از درون یابی استفاده می شود. برای به دست آوردن ضابطه ی چندجمله ای مورد نظر از روش های مختلفی می توان استفاده کرد. یکی از روش های مرسوم در محاسبه ی چندجمله های درون یاب، روش درون یابی لاگرانژ است. به علاوه در این نوع مسایل نحوه ی توزیع نقاط گرهی یکی از عوامل تاثیرگذار بر دقت درون یابی است؛ به عنوان مثال اگر برای تقریب زدن یک تابع با استفاده از چندجمله ای ها، از نقاط گرهی هم فاصله استفاده شود، دقت درون یابی در ابتدا و انتهای بازه ی نمونه برداری مطلوب نخواهدبود. برای غلبه بر این مشکل باید نحوه ی توزیع نقاط گرهی به گونه ای باشد که در ابتدا و انتهای بازه ی درون یابی نسبت به مرکز بازه از تراکم بیشتری برخوردار باشند. یک نمونه از مجموعه نقاطی با این شرایط، مجموعه ی ریشه های چندجمله ای های چبیشف هستند که به نقاط گرهی چبیشف معروف اند. با استفاده از این نقاط به عنوان نقاط گرهی، دامنه ی نوسان های چندجمله ای در دو طرف بازه ی درون یابی بسیار کوچک خواهدبود که این مساله موجب افزایش دقت درون یابی می شود. با توجه به کاربردهای ذکرشده برای استفاده از نقاط چبیشف در این نوع مسایل درون یابی، در این مقاله یک رابطه ی بازگشتی برای محاسبه ی توابع پایه ی لاگرانژ با استفاده از این نقاط ارایه می شود. با استفاده از این روش تعداد عملگرهای محاسباتی مورد نیاز جهت به دست آوردن توابع پایه ی لاگرانژ، تا حد قابل توجهی کاهش می یابد. از این رو انتظار می رود که با به کارگیری این روش ، سرعت انجام محاسبات در فرآیند درون یابی افزایش یابد. برای بررسی این مساله در ادامه ی مقاله، توابع پایه ی لاگرانژ در یک مساله ی درون یابی با استفاده از هر دو روش محاسبه شدند. پس از محاسبه ی این توابع برای تمام اعداد صحیح در بازه ی]1000,1[و برای چندجمله ای های از درجه ی 1 تا 10، مشخص شد که استفاده از روش بازگشتی در محاسبات، تا چند برابر سریع تر از روش معمولی است؛ به گونه ای که برای چندجمله ای درجه ی 1 روش بازگشتی 3/1 برابر سریع تر از روش معمولی بوده است. با افزایش درجه ی چندجمله ای این اختلاف افزایش یافته و برای چندجمله ای درجه ی 10 روش بازگشتی تا 3 برابر سریع تر از الگوریتم معمولی عمل کرده است؛ بنابراین استفاده از روش ارایه شده به خصوص در مواردی که از چندجمله ای های با درجات بالا برای درون یابی استفاده می شود، کاملا توجیه پذیر است.