روش بهینه سازی نیوتن در فضاهای ژئودزیک

بسیاری از فضاهای مهم در مسایل مربوط به علوم داده یا مهندسی‏، فضا های غیرخطی اند. ازاین رو‏، در سال های اخیر روش های عددی برای بهینه سازی تابع های تعریف شده روی خمینه های ریمانی، مورد توجه و پژوهش بسیاری قرار گرفته است. ازطرف دیگر، هندسه دانانی چون آلیکساندرف و گرومف، با ابداع فضاهای ژیودزیک، دریچه تازه ای به مطالعه اشیاء هندسی گشودند. این فضاها تعمیم خمینه های ریمانی اند و‏، علاوه بر مزیت های دیگر، فاقد پیچیدگی های تانسوری این خمینه ها هستند. این فضاها بسیاری از اشیاء ناهموار ریاضی، ازجمله گراف ها یا خمینه های توپولوژیک را هم شامل می شوند. در این مقاله‏، روش نیوتن برای یافتن نقطه مینیمم یک تابع خودسازگار روی فضاهای متری ژیودزیک ارایه می شود. از مزیت های مهم این نوع بررسی در قیاس با روش نیوتن روی خمینه های ریمانی‏، سادگی بسیار نظریه و کاهش حجم محاسبات است. علی رغم نبود ساختار هموار و جبر تانسوری روی خمینه ها‏، صرفا با استفاده از مفهوم ‎«‎خم ژیودزی‎»‎ نشان می دهیم که می توان روش نیوتن را به شکلی موفق و حتی ساده تر روی رده وسیعی از ساختارهای معمول ریاضی طراحی و اجرا کرد.