آیا حساب متعین است؟

آیا حساب متعین و قطعی است؟ به عبارت دیگر، آیا به ازای هر حکمی در حساب اعداد طبیعی، دلیلی برای درستی یا نادرستی آن حکم وجود دارد؟ برای مثال، آیا شواهدی برای درستی یا نادرستی حدس گولدباخ وجود دارد حتی اگر ما از آن ها آگاه نباشیم؟ در وهله اول به نظر می رسد که پاسخ به وضوح مثبت است‎‏‏، اما از کجا مطمین باشیم؟ قضیه ناتمامیت گودل در این مورد چه می گوید؟ مستقل بودن برخی احکام نظریه مجموعه ها مانند اصل انتخاب و فرضیه پیوستار چه ارتباطی با این موضوع دارد؟ در این مقاله به بررسی این پرسش ها می پردازیم. علاوه بر این، تاثیر وجود امکانات نامتعارفی از قبیل ماشین های محاسبی که قادر به انجام تعدادی نامتناهی دستورالعمل در زمانی متناهی اند و همچنین دستگاه های اثباتی مجهز به قواعد نامتناهی را بر پاسخ این پرسش ها بررسی خواهیم کرد.