نشریه ریاضی و جامعه
سال ششم شماره 4 (زمستان 1400)

برهانی جدید نشان می دهد که یک گراف ریاضی چقدر باید بزرگ باشد تا اینکه شامل یک زیر ساختار منظم باشد. این مقاله ترجمه
Leila Sloman, Mathematical Connect-the-Dots Reveals How Structure Emerges, Quanta Magazine, June 23, 2022. https://www.quantamagazine.org/new-proof-shows-when-structure-must-emerge-in-graphs-20220623/.

در فضاهای تغییرجای تحویل ناپذیر، کلمه mهم گام کننده است، هرگاه vm و mw کلمه های مجاز باشند، آن گاه vmw نیز مجاز باشد. کلمه m نیم هم گام کننده (ضعیف) است، هرگاه عنصر از چپ ترایای (نامتناهی) - x وجود داشته باشد به طوری که اگر x_mو mw مجاز باشند، آنگاه x_mw نیز مجاز باشد. تامسن یک مولفه ی هم گام شونده را درنظر گرفت و ثابت کرد آنتروپی دسته خاصی از فضاهای تغییرجای متناهی از درون به آنتروپی هم گام شونده آن همگرا است. ما با استفاده از یک رویکرد نسبتا متفاوت نشان می دهیم این نتیجه را می توان به فضاهای هم گام شونده ضعیف تعمیم داد.نمونه ای از فضاهای نیم هم گام شونده و نیم هم گام شونده ضعیف، فضاهای دایک می باشند. مولدهای متوازن ابتدا برای فضاهای تغییرجای دایک تعریف شده است. چنین مولدهایی را به فضای تغییرجای کلی تری به نام فضای تغییرجای متوازن تعمیم داده و ثابت می کنیم این فضاها درهم آمیخته و نیم هم گام شونده هستند. سپس آنتروپی نیم هم گام شونده ضعیف را برای آن تقریب می زنیم.

رای فضای توپولوژی ناتهی $X$، محموعه تمام توابع حقیقی-مقدار روی $X$ با نماد $F(X)$ نشان داده می شود که با عمل جمع و ضرب نقطه به نقطه، حلقه ای تعویض پذیر است. اعضای پیوسته $F (X)$ را با $C(X)$ نشان می دهیم. $B_1 (X)$ مجموعه تمام حدود نقطه به نقطه دنباله توابع در $C(X)$ را نشان می دهد که یک زیرحلقه $F (X)$ است. نشان داده شده است که جمع دو $z$-ایدآل در $B_1(X)$ یک $z$-ایدآل است و ایدآل $I$ در $B_1(X)$ یک $z$-ایدآل است اگر و تنها اگر $\sqrt{I}$ یک $z$-ایدآل در $B_1 (X)$ باشد. برای هر $f\in F(X)$، $f^{-1}(0)$ را با $Z(f)$ نشان داده و آن را یک صفر-محموعه می گویند. اگر $A(X)$ یک زیرحلقه $F(X)$ باشد، $\emptyset \neq B\subseteq A(X)$ و $S=\bigcup_{b\in B}(X\setminus Z(b))$، آن گاه ثابت شده است که همریختی حلقه $\phi:A(X) \to A(S)$ وجود دارد به طوری که $\phi= Ann(B)$ \lr{ker}. ایدآل $I$ در $A(X)$ را مطلقا محدب گوییم هرگاه از $f\in A(X),~g\in I$ و $|f|\leq |g|$ نتیجه شود $f\in I$. برخی زیرحلقه های $F(X)$ که هر ایدآل اول آن مطلقا محدب باشد بررسی شده است. ایدآل سره $I$ از $A(X)$ را ایدآلی شبه ثابت می نامند هرگاه گردآیه $\{cl_XZ(f) | f\in I \}$ دارای اشتراک ناتهی باشد. مشخصه سازی ها یی از ایدآل های شبه ثابت در برخی زیرحلقه های $F(X)$ داده شده است. نشان داده شده است که اگر $X$ همبند باشد، $I$ ایدآلی آزاد در $C(X)$ باشد و $p\in X$، آن گاه ایدآل ناصفر $J$ که مشمول در $I$ است وجود دارد به طوری که $p\in \cap Z[J]$. زیرحلقه $A(X)$ از $F(X)$ مورد مطالعه قرار گرفته است که هر $f\in A(X)$ با شرط $Z(f)=\emptyset$ دارای وارون ضربی در $A(X)$ باشد. زیرحلقه $A(X)$ از $F(X)$ مورد پژوهش قرار گرفته است که برای هر $g\in C(\mathbb{R})$ و هر $f\in A(X)$ داشته باشیم $g\circ f \in A(X)$. یک تابعگون پادوردا از رسته ی تمام فضاهای توپولوژی و نگاشت های پیوسته بین آنها بتوی رسته ی حلقه های تعویض پذیر یکدار و همریختی های حافظ عضو همانی ضربی بین آنها برقرار خواهد شد.

معادلات دیفرانسیل غیرخطی و روش های ریاضی حل آن ها، کاربردهای فراوانی در مطالعه رفتار دینامیکی سیستم های غیرخطی دارد. یکی از سیستم های غیرخطی در علم فیزیک، پلاسما است که تقریبا $99$ درصد ماده عالم را از ستاره نوترونی تا آذرخش، تشکیل می دهد. برهمکنش موج-ذره؛که به وفور در محیط پلاسما اتفاق می افتد؛ موجب رزنانس تصادفی ذرات باردار و درنتیجه رفتار غیرخطی آن ها در محیط می شود. در این مقاله، ضمن ارایه مدل نظری و روشی ریاضی-تحلیلی برای بررسی رفتار محیط مغناطیسی در برهمکنش با بسته موج الکترواستاتیک، نحوه گرمایش و آشفتگی محیط مورد بررسی قرار می گیرد. نتایج به دست آمده نشان می دهند که در اختلال شدید ناشی از بسته موج، جابجایی یون های محیط رفتار غیر عادی دارد و بین حرکات پخش ذرات و گیراندازی ذرات تغییر می کند. نتایج این مطالعه، مدلی برای توصیف برهمکنش موج-ذره در یک محیط مغناطیسی متغیر و غیریکنواخت متاثر از نیروهای دوره ای؛ مانند بادهای خورشیدی به هنگام فعالیت خورشید، ارایه می دهد.

در این مقاله، مشتق کسری ریمان-لیوویل اصلاح شده ‎(جوماری)‎ را معرفی کرده و برخی از خواص و ویژگی های آن را اثبات می کنیم. در ادامه با ارایه چند مثال نقض نشان می دهیم که برخی از خواص که جوماری در مقالات خود ادعا کرده، برقرار نیستند. در پایان اشکالی که در اثبات های جوماری وجود دارد را مشخص کرده و فرمول های صحیح را پیشنهاد می کنیم.

یکی از مباحث بسیار مهم و جذاب در نظریه توابع هندسی، رده های توابع ستاره گون و محدب ما-میندا بر قرص واحد $\mathbb{D}=\left\{z\in \mathbb{C}\colon |z|<1 \right\}$ می باشند که به کمک رابطه تبعیت تعریف شده اند. فرض می کنیم $\mathcal {A}$ رده توابع تحلیلی بر قرص واحد $\mathbb {D}$ در صفحه مختلط $\mathbb {C}$ که با $f (0)=f' (0)-1=0$ نرمالیزه شده و رده های $\ mathcal{ST}_N(s)$ و $ \mathcal{CV}_N (s)$ نمایش خانواده ای از توابع ستاره گون و محدب ما-میندا $f\in \mathcal{A}$ باشند به طوری که برای هر $z\in \mathbb{D}$، کمیت های $zf' (z)/f (z)$ و $1+zf''(z)/f' (z)$ در داخل دامنه کران دار به ناحیه نفرویید \[\left[(u-1)^2+v^2-4s^2\right]^3=108s^4v^2, \quad 0<s\le \frac {\sqrt{2}}{4}\] باشند. در این مقاله، برخی خواص و ویژگی های رده های $\mathcal{ST}_N(s)$ و $\mathcal {CV}_N (s)$ تعریف شده از نوع ما-میندا، مانند ساختار توابع در این رده ها، توابع اکسترمال، قضیه رشد، دگرشکلی و قضیه دوران را مورد مطالعه قرار می دهیم.