Some applications of $k$-regular sequences and arithmetic rank of an ideal with respect to modules

Article Type:
Research/Original Article (دارای رتبه معتبر)
‎Let $R$ be a commutative Noetherian ring with identity‎, ‎$I$ be an ideal of $R$‎, ‎and $M$ be an $R$-module‎. ‎Let $k\geqslant‎ -‎1$ be an arbitrary integer‎. ‎In this paper‎, ‎we introduce the notions of $\Rad_M(I)$ and $\ara_M(I)$‎ ‎as the radical and the arithmetic rank of $I$ with respect to $M$‎, ‎respectively‎. ‎We show that the existence of some sort of regular sequences‎ ‎can be depended on $\dim M/IM$ and so‎, ‎we can get some information about local cohomology modules as well‎. ‎Indeed‎, ‎if $\ara_M(I)=n\geq 1$ and ${(\Supp_{R}(M/IM))}_{>k}=\emptyset$‎ ‎(e.g.‎, ‎if $\dim M/IM=k$)‎, ‎then there exist $n$ elements $x_1‎, ..., ‎x_n$ in $I$‎ ‎which is a poor $k$-regular $M$-sequence and generate an ideal‎ ‎with the same radical as $\Rad_M(I)$ and so‎ ‎$H^i_I(M)\cong H^i_{(x_1‎, ..., ‎x_n)}(M)$ for all $i\in \mathbb{N}_0$‎. ‎As an application‎, ‎we show that $\ara_M(I) \leq \dim M+1$‎, ‎which is a refinement of the inequality $\ara_R(I) \leq \dim R+1$ for modules‎, ‎attributed to Kronecker and Forster‎. ‎Then‎, ‎we prove‎ ‎$\dim M-\dim M/IM \leq \cd(I‎, ‎M) \leq \ara_M(I) \leq \dim M$‎, ‎if $(R‎, ‎\mathfrak{m})$ is a local ring and $IM \neq M$‎.
Journal of Algebra and Related Topics, Volume:11 Issue: 2, Autumn 2023
21 to 35  
دانلود و مطالعه متن این مقاله با یکی از روشهای زیر امکان پذیر است:
اشتراک شخصی
با عضویت و پرداخت آنلاین حق اشتراک یک‌ساله به مبلغ 1,390,000ريال می‌توانید 70 عنوان مطلب دانلود کنید!
اشتراک سازمانی
به کتابخانه دانشگاه یا محل کار خود پیشنهاد کنید تا اشتراک سازمانی این پایگاه را برای دسترسی نامحدود همه کاربران به متن مطالب تهیه نمایند!
  • حق عضویت دریافتی صرف حمایت از نشریات عضو و نگهداری، تکمیل و توسعه مگیران می‌شود.
  • پرداخت حق اشتراک و دانلود مقالات اجازه بازنشر آن در سایر رسانه‌های چاپی و دیجیتال را به کاربر نمی‌دهد.
In order to view content subscription is required

Personal subscription
Subscribe for 70 € euros via PayPal and download 70 articles during a year.
Organization subscription
Please contact us to subscribe your university or library for unlimited access!